Segundo parcial matematicas II
POLÍGONOS
En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.
Clasificación:
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:
- Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta.
- Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
- Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º.
- Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º
- Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
- Equiángulo, si tiene todos sus ángulos iguales.
- Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
- Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales.
- Ortogonal o isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos X o -Y
- Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
- Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
CALCULAR EL NUMERO DE DIAGONALES QUE TIENE UN POLIGONO CONVEXO
Metodo analitico:
Vértice de un polígono: Es el punto que une dos lados consecutivos del polígono
Angulo interior de un polígono: Esta en el interior del polígono y esta formado por dos lados consecutivos.
Polígono de tres lados
Este poligono tiene 3 lados y 3 vertices
El poligono tiene "n" lados y solo tiene "n" vertices.
Diagonal de un polígono: Es el segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos del polígono.
Formula:
Ejemplo:
CALCULAR ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES
De forma más general, calcularemos la superficie de cualquier polígono regular, independientemente del número de lados. Al igual que pasaba con el pentágono y el hexágono, el área es el producto de apotema y perímetro entre dos. Si usamos relaciones trigonométricas podremos calcular la apotema a partir del lado y, puesto que el perímetro de la figura es únicamente función del lado, podremos tener la fórmula, para este caso, dependiendo únicamente del número de lados y el valor de este.
Ejemplos:
Hexágono regular de 3 cm de lado y 2.6 de apotema
RECTAS Y TEOREMAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas
Si 2 cuerdas se interceptan en el interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en otra cuerda.
Teorema de las secantes
Si 2 rectas secantes interceptan a una circunferencia, el producto entre el segmento exterior a la circunferencia con el segmento total en una de las secantes es igual al producto de los correspondientes segmentos en otra secante.
MP·SP = RP·QP
MP·SP = RP·QP
Teorema de la secante y la tangente
Si desde un punto exterior a una circunferencia, se traza una tangente y una secante, el cuadrado del segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y el segmento total de la recta secante.
TP² = RP· QP
ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
1 Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
2 Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
3 Ángulo semi-inscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
4 Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
5 Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella
tangentes a ella
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Ejemplo:
La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
Respuesta:
r = 90 : 100 = 0.9 m
L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m
5.65 · 100 = 565 m
Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?
1 milla = 1 852 m
El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.
Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de cuerpos redondos.
La fórmula para calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.
Para medir el volumen de un cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son: milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico
mm3, cm3, dm3, m3
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Para determinar el volumen de los cuerpos geométricos se debe tener en cuenta lo siguiente:
1.- El volumen de un cubo es igual al cubo de uno de sus lados, esto se expresa como:
V = l3
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2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:
V = Bh
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3.- El volumen de un cilindro es igual al producto de p por el cuadrado del radio por la altura, esto se expresa como:
V = Π r2 h
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4.- El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, lo cual se expresa como:
V = B h ÷ (dividido o partido por) 3
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5.- El volumen del cono es igual a la tercera parte del producto de pi por el cuadrado del radio por la altura, lo cual se expresa como:
Π r2 h ÷ (dividido o partido por) 3
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Con base en lo anterior se pueden resolver problemas que impliquen determinar el volumen de algún cuerpo geométrico.
Volumen de una esfera
En el caso de una esfera (cuerpo limitado por una superficie esférica, es decir, es la superficie que se crea cuando una semicircunferencia gira en torno a su diámetro) el volumen se calcula usando la siguiente fórmula:
Volumen esfera : 4 / 3 · p · R 3
p = 3,1415...
R = Radio
Ejemplo:
Si el radio de una circunferencia es de 4 cm . ¿Cuál será su volumen?
V = 4 / 3 · 3.1415.. · ( 4 ) 3
V = 4 / 3 · 3,1415..· 64
V = 804,24772.
3
V = 268,08 cm 3
El diámetro corresponde a la medida de dos radios y es el segmento de mayor longitud que gira dentro de la circunferencia.
En una proporción continua, se denomina medio proporcional a cada uno de los términos iguales.
Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.
